A Bednarik László néven született Budai II Rákospalotán látta meg a napvilágot 1928. július 19-én. Tizenkét évesen itt, a Rákospalotai TK-ban kezdett el focizni. Tizenkilenc évesen igazolt a Hutter Olaj SC, a későbbi nevén Növényolaj Kinizsi SK csapatához. Innen került be az ifi válogatottba, majd egy évvel később a Ferencvároshoz. Tagja volt az 1948/49-es jubileumi ötvenéves bajnokcsapatnak. Érkezésével alakult ki a Fradi legendás bajnokcsapatának csatársora: Budai, Kocsis, Deák, Mészáros, Czibor. 1949. május 8-án a Megyeri úton az osztrákok elleni 6–1-es győzelem alkalmával a válogatottban is bemutatkozott, Sebes Gusztáv irányítása alatt.

Ahogy 1937-ben Purczeldből Puskás lett, úgy változtatott nevet egy bő évtizeddel később Bednarik is: a magyarosítás eredményeként immáron Budai lett, ahogy ebben az időben ez volt az elvárás az ismert sportolók körében.
A kommunista hatalom átszervezéseinek következtében 1950-ben a Ferencvárostól a Honvéd csapatához került. „Új” nevében a római II-est is itt kapta, mivel a nála hét évvel idősebb Budai László már 1946 óta tagja volt a csapatnak (így őt hívták Budai I-nek). Első válogatott gólját 1949-ben szerezte a Svédországgal játszott 2–2-re végződött meccsen. Budai II jobbszélsőként Kocsis Sándorral alkotott legendás párost. Sebes Gusztáv szövetségi kapitány és Budai II kapcsolata azonban nem volt teljesen felhőtlen. Sebes többször kihagyta a válogatottból, de ennek ellenére tagja lehetett az 1952-es olimpia aranyérmes csapatnak, bár a döntőben nem kapott lehetőséget.

Az Aranycsapat hatalmas sikereinek azonban ő is közvetlen részese lehetett: 1953-ban Európa Kupát nyert, majd tagja volt az évszázad mérkőzésén győztes Aranycsapatnak, amely 1953. november 25-én 6:3-ra legyőzte Angliát a Wembley Stadionban, továbbá 1954-ben világbajnoki ezüstérmet szerzett.