A kilencszeres magyar válogatott támadó 1936. augusztus 24-én látta meg a napvilágot Felsőgallán.
Monostori Tokodon kezdett futballozni, majd 1954-ben igazolt a Dorogra, ahol csapattársa volt az Aranycsapat legendás játékosa, Buzánkszy Jenő. Azaz 1958–1959-es szezonban 15 találattal – Kisuczky Róberttel és Tichy Lajossal hármas holtversenyben – az NB I gólkirálya volt. A dorogi csapattal az 1962–1963-as idényben negyedik helyen végeztek a bajnokságban, csak rosszabb gólkülönbség miatt maradtak le a dobogóról. Monostori 1968-ban igazolt Tatabányára, itt három évet töltött visszavonulása előtt.
Az 1960. november 13-i Magyarország – Lengyelország (4–1) barátságos mérkőzés műsorfüzete – Monostori Tivadar ezen az összecsapáson volt először kezdő a nemzeti csapatban, s rögtön duplázott.
A magyar válogatottban 1958 és 1963 között 9 mérkőzésen 4 gólt ért el. 1958-ban tagja volt a vb-keretnek, de svédországi világbajnokságon nem lépett pályára. Négy évvel később a chilei tornára is kiutazhatott, s az Argentína elleni csoportmérkőzésen kezdőként kapott lehetőséget.
Visszavonulása után szakvezetőként irányította Dorogot, a Tatabányát, az Oroszlányt, a Kaposvárt és ÉGSZÖV MEDOSZ együttesét. Dolgozott a Ferencváros utánpótlásában, irányított magyar utánpótlás-válogatottat, illetve Dubaiban volt szövetségi edző.
Monostori Tivadar 77 évesen, 2014. március 18-án hunyt el Esztergomban.
